La plongée sous-marine

Partie I

La loi d'Henry

1. Introduction

La loi d'Henry énonce :

« À température constante et à saturation, la quantité de gaz dissous dans un liquide est proportionnelle à la pression partielle qu'exerce ce gaz sur le liquide. »

Il y a donc rupture de l'équilibre lors de la descente en plongée. La pression qu'exerce le gaz sur le sang augmente, le gaz se dissout dans le sang.

De même, lors de la remontée, le phénomène inverse se produit. Le sang est en sursaturation car la pression diminue : un dégazage s'opère. Si la rupture d'équilibre est trop grande, des bulles se forment — c'est l'accident de décompression.

2. Mise en évidence expérimentale

Pour mettre en évidence la loi d'Henry, j'ai rempli une bouteille en plastique à moitié avec de l'eau puis j'ai augmenté la pression grâce à une pompe à vélo.

La pompe avait un manomètre pour vérifier la pression et j'ai pompé jusqu'à obtenir 5 bars, soit l'équivalent de 40 m en plongée. J'ai laissé reposer pendant 1 h. Au bout d'une heure, j'ai brusquement remis l'eau à pression ambiante (j'ai ouvert la valve) pour simuler une remontée rapide. 15 minutes plus tard, des bulles apparaissent.

3. Vérification de la loi

J'ai voulu tester la loi d'Henry expérimentalement.

Pour cela, j'ai rempli 4 bouteilles en plastique à moitié avec de l'eau et j'ai mis une pression différente dans chaque : 1, 3, 5 et 8 bars, soit l'équivalent de 0, 20, 40 et 70 mètres.

J'ai laissé sous pression pendant 2 jours pour être certain d'avoir atteint la saturation — durée correcte au regard de l'ordre de grandeur d'une plongée (≈ 45 min). J'ai ensuite mesuré, par déplacement d'eau, le volume de gaz qui se dégage de l'eau présente dans la bouteille lorsque je l'ai remise à pression ambiante (1 bar).

On obtient une droite :

Le volume d'eau de la bouteille était de 125 mL et l'expérience s'est faite à 20 °C. Obtenir une droite est cohérent avec la loi d'Henry — la quantité de gaz dissous est proportionnelle à la pression partielle qu'exerce le gaz sur le liquide. Une régression linéaire avec Regressi donne :

Avec :

• V le volume dégagé (en mL)
• P la pression (en bar)

Théoriquement, la loi d'Henry s'exprime par la relation :

• P_i la pression partielle d'un gaz i (en Pa)
• b_i la molalité (en mol·kg⁻¹)
• K_i la constante d'Henry (en Pa·kg·mol⁻¹)
• n_i la quantité de matière du gaz i dissous (en mol)
• m_tot la masse totale du milieu : eau + gaz dissous (en kg)

On applique la loi des gaz parfaits pour connaître le volume à pression ambiante :

• P° la pression ambiante (10⁵ Pa)
• V_i le volume dissous d'un gaz i (en m³)
• V_eau le volume d'eau dans le récipient (en m³)
• ρ_eau la masse volumique de l'eau (1000 kg·m⁻³)
• R la constante des gaz parfaits (8,314 SI)
• T la température (en K)

Dans notre cas, le dioxygène (O₂) et le diazote (N₂) se dissolvent dans l'eau, donc :

D'après la loi de Dalton :

• P_t la pression totale (en Pa)
• l_i la proportion du gaz i (0,21 pour O₂ et 0,79 pour N₂ dans l'air)

D'où au final :

Les constantes d'Henry du dioxygène et du diazote dans l'eau valent :

Source : P. Atkins, Physical Chemistry, 8^e édition, 2006

Avec T = 293 K (20 °C) et V_eau = 125 mL, après application numérique :

Avec :

• V(P) le volume d'air dégagé (en mL)
• P la pression (en bar)

Soit un écart de 12 % sur la pente entre la théorie et l'expérience. Tout à fait honorable au vu de la précision des mesures.

Partie III

Calcul des tables de décompression

Grâce à notre expérience, on va tenter de calculer les tables de décompression. Pour cela, on est obligé de faire des hypothèses, et pas des moindres :

1. L'air se dissout uniquement dans le sang (on néglige les tissus). On a donc V = 5,0 L.
2. La surface de contact entre le sang et l'air est de 75 cm². Cela correspond à la « surface » des deux poumons coupés horizontalement.

   

   En réalité, il faudrait prendre en compte la surface de contact des poumons avec l'air (130 m²) mais cela donnait des résultats complètement aberrants.
3. Les temps caractéristiques de dissolution et de dégazage sont égaux : un volume V d'air met le même temps pour se dissoudre dans le sang que pour en être dégazé.
4. Les temps caractéristiques de l'eau et du sang sont égaux. Un volume d'air met le même temps pour se dissoudre dans l'eau que dans le sang. Ceci est une très grosse approximation, le sang n'ayant rien à voir avec l'eau, même s'il en est principalement constitué.
5. Le coefficient de sursaturation critique doit être inférieur ou égal à 2. Ce coefficient est le rapport du volume d'air dissous dans le sang sur le volume d'air qui serait dissous à saturation dans le sang à la pression ambiante. Lorsque ce rapport vaut 2, il faut faire un palier. Ce coefficient a été trouvé par Haldane en faisant des expériences sur des chèvres : il avait remarqué que les chèvres avaient des accidents de décompression dans des conditions similaires à l'homme.

   

6. Les paliers possibles sont 3, 6, 9 et 12 m. On doit toujours effectuer les paliers à ces profondeurs. Si, d'après le calcul, on doit s'arrêter à 4 m, on choisit le palier inférieur (6 m dans cet exemple).

À partir de ces hypothèses, j'ai fait les calculs sur un fichier Excel. Vous pouvez le télécharger ici :

Sur la feuille 2 du fichier, il suffit de modifier la profondeur pour que la table de décompression se calcule toute seule. Pour être plus proche de la réalité, j'ai dû multiplier le temps caractéristique trouvé expérimentalement par 3.

Par la suite, j'ai écrit un programme sous MAPLE qui génère un graphique plus parlant pour expliquer ce qu'il se passe dans le corps.

> with(plots):
> palier:=proc(p,t)

K:=evalf(3/6170);
S:=2;

Vmax:=x->99.5*((x/10)+1) - 99.5;
f[0]:=x->99.5 + Vmax(p)*(1-exp(-x*60*K));
courbe[0]:=plot(f[0](x),x=0..t,y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),numpoints=5000,color="SteelBlue",thickness=2,legend=["Plongee de "||t||"min"]);
prof[0]:=plot(Vmax(p)+99.5,x=0..t,y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),color=black);
texte[0]:=textplot([t/4,Vmax(p)+99.5,""||p||"m",'align'={'above','right'}]);
duree[0]:=t;

if evalf(((f[0](t)/2/99.5)-1)*10) <= 0 then palier1:=0; n:=0;
elif evalf(((f[0](t)/2/99.5)-1)*10) >= 0 and evalf(((f[0](t)/2/99.5)-1)*10) <= 3 then palier1:=3; n:=1;
elif evalf(((f[0](t)/2/99.5)-1)*10) > 3 and evalf(((f[0](t)/2/99.5)-1)*10) <= 6 then palier1:=6; n:=2;
elif evalf(((f[0](t)/2/99.5)-1)*10) > 6 and evalf(((f[0](t)/2/99.5)-1)*10) <= 9 then palier1:=9; n:=3;
else palier1:=12; n:=4;
fi;

if palier1>=3 then
   duree[1]:=t + ceil(evalf(((-1/K)*ln(1-(f[0](t)-S*99.5*((1+0.1*palier1)-0.3))/(f[0](t)-99.5*(1+0.1*palier1))))/60));
   f[1]:=x->f[0](t)-((f[0](t)-99.5*((palier1/10)+1))*(1-exp(-(x-t)*K*60)));
   courbe[1]:=plot(f[1](x),x=t..duree[1],y=99.5..(f[0](t)+50),color=red,numpoints=5000,thickness=2,legend=["Palier de "||(duree[1]-t)||"min"]);
   trait[1]:=implicitplot(x=t,x=t-1..t+1,y=Vmax(p)+99.5..Vmax(palier1)+99.5,color=black);
   prof[1]:=plot(Vmax(palier1)+99.5,x=t..duree[1],y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),color=black);
   texte[1]:=textplot([t,Vmax(palier1)+99.5,""||palier1||"m",'align'={'above','right'}]);
fi;

if palier1>=6 then
   duree[2]:=duree[1] + ceil(evalf(((-1/K)*ln(1-(f[1](duree[1])-S*99.5*((1+0.1*(palier1-3))-0.3))/(f[1](duree[1])-99.5*(1+0.1*(palier1-3)))))/60));
   f[2]:=x->f[1](duree[1])-((f[1](duree[1])-99.5*(((palier1-3)/10)+1))*(1-exp(-(x-duree[1])*K*60)));
   courbe[2]:=plot(f[2](x),x=duree[1]..duree[2],y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),color=green,numpoints=5000,thickness=2,legend=["Palier de "||(duree[2]-duree[1])||"min"]);
   trait[2]:=implicitplot(x=duree[1],x=duree[1]-1..duree[1]+1,y=Vmax(palier1)+99.5..Vmax(palier1-3)+99.5,color=black);
   prof[2]:=plot(Vmax(palier1-3)+99.5,x=duree[1]..duree[2],y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),color=black);
   texte[2]:=textplot([duree[1],Vmax(palier1-3)+99.5,""||(palier1-3)||"m",'align'={'above','right'}]);
fi;

if palier1>=9 then
   duree[3]:=duree[2] + ceil(evalf(((-1/K)*ln(1-(f[2](duree[2])-S*99.5*((1+0.1*(palier1-2*3))-0.3))/(f[2](duree[2])-99.5*(1+0.1*(palier1-(2)*3)))))/60));
   f[3]:=x->f[2](duree[2])-((f[2](duree[2])-99.5*(((palier1-2*3)/10)+1))*(1-exp(-(x-duree[2])*K*60)));
   courbe[3]:=plot(f[3](x),x=duree[2]..duree[3],y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),color="Chocolate",thickness=2,numpoints=5000,legend=["Palier de "||(duree[3]-duree[2])||"min"]);
   trait[3]:=implicitplot(x=duree[2],x=duree[2]-1..duree[2]+1,y=Vmax(palier1-3)+99.5..Vmax(palier1-6)+99.5,color=black);
   prof[3]:=plot(Vmax(palier1-6)+99.5,x=duree[2]..duree[3],y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),color=black);
   texte[3]:=textplot([duree[2],Vmax(palier1-6)+99.5,""||(palier1-6)||"m",'align'={'above','right'}]);
fi;

if palier1>=12 then
   duree[4]:=duree[3] + ceil(evalf(((-1/K)*ln(1-(f[3](duree[3])-S*99.5*((1+0.1*(palier1-3*3))-0.3))/(f[3](duree[3])-99.5*(1+0.1*(palier1-(3)*3)))))/60));
   f[4]:=x->f[3](duree[3])-((f[3](duree[3])-99.5*(((palier1-3*3)/10)+1))*(1-exp(-(x-duree[3])*K*60)));
   courbe[4]:=plot(f[4](x),x=duree[3]..duree[4],y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),color="DarkOrchid",thickness=2,legend=["Palier de "||(duree[4]-duree[3])||"min"]);
   trait[4]:=implicitplot(x=duree[3],x=duree[3]-1..duree[3]+1,y=Vmax(palier1-6)+99.5..Vmax(palier1-9)+99.5,color=black);
   prof[4]:=plot(Vmax(palier1-9)+99.5,x=duree[3]..duree[4],y=99.5..(99.5+Vmax(p)+50),color=black);
   texte[4]:=textplot([duree[3],Vmax(palier1-9)+99.5,""||(palier1-9)||"m",'align'={'above','right'}]);
fi;

display({seq(courbe[j],j=0..n),seq(prof[j],j=0..n),seq(texte[j],j=0..n),seq(trait[j],j=1..n)},title="Profondeur maximum "||p||"m, duree totale "||(duree[n])||"min",labels=["Temps de plongee (en min)","Volume d'air dissous dans le sang (en ml)"],labeldirections=["horizontal","vertical"],linestyle=solid,titlefont=["ROMAN",15],labelfont=[HELVETICA,10],axesfont=["HELVETICA","ROMAN",8],legendstyle=[font=["HELVETICA",9]]);

end proc:
> palier(40,35);

Ici, j'ai pris l'exemple d'une plongée qui se déroule à 40 m pendant 35 min. Pendant les 35 min de plongée, on remarque que la quantité d'air dissous dans le sang augmente. Au bout de 35 min, on décide de remonter. D'après le coefficient de sursaturation critique, nous devons faire un premier palier à 9 m de 1 min pour pouvoir remonter à 6 m sans aucun souci. De même, on doit ensuite faire un palier de 20 min à 6 m puis un palier de 27 min à 3 m.

Nous voyons ainsi que l'élaboration d'un modèle pour prévoir les paliers n'est pas simple. J'ai fait de nombreuses approximations, or le modèle est bien plus complexe en réalité. Dans le modèle officiellement utilisé, le corps humain est divisé en 7 compartiments différents avec chacun des coefficients de sursaturation critique distincts. On préfère aujourd'hui utiliser des statistiques pour mettre au point les algorithmes des ordinateurs de plongée : une base de données des accidents de décompression avec leurs paramètres a été constituée. C'est dans ce sens que Comex a fait une proposition de modification des tables françaises suite à une étude statistique des accidents de décompression.